Infinitesimi e infiniti


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Introduzione

Le funzioni $g(x)=x$ e $f(x)=x^2$ tendono entrambe all'infinito per $x\to+\infty$ ma con "velocità" differenti. Questo fatto si può notare quando consideriamo il limite $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}. $$ che è una forma indeterminata di tipo $\frac{+\infty}{+\infty}$. Quando andiamo a scrivere per esteso le funzioni vediamo che il limite si semplifica: $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1}=+\infty. $$ Possiamo interpretare quello che è successo in questo modo: anche se si confrontavano due infiniti in un rapporto (forma indeterminata) uno dei due ($x^2$) prevaleva sull'altro ($x$) e determinava l'esito del rapporto. Dividere per $x$ non è stato sufficiente a "contrastare" $x^2$, perchè $x$ converge all'infinito in modo significativamente meno veloce. Se invece avessimo preso come denominatore $g(x)=x^3$ l'esito sarebbe stato diverso, il rapporto sarebbe andato a $0$, stavoltra il termine "dominante" tra $x^2$ e $x^3$ era $x^3$.

Estendiamo questo discorso definendo rigorosamente il concetto che abbiamo visto: diciamo che $f(x)$ è un infinito "di ordine superiore" rispetto a $f(x)$ per $x\to +\infty$ se il rapporto $\frac {f(x)}{g(x)}$ tende a $+\infty$.

In base a questa definizione possiamo verificare facilmente che per $x\to+\infty$ la funzione $x^3$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^2$ che a sua volta è di ordine superiore rispetto a $x$. In generale $x^k$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^h$ se $k>h$. Si può verificare facilmente anche che per $x\to+\infty$ qualsiasi polinomio $P(x)$ è un infinito di ordine superiore a qualsiasi altro polinomio $Q(x)$ di grado più basso (è sufficiente mettere in evidenza il termine di grado più alto nel numeratore e denominatore del rapporto $\frac {P(x)}{ Q(x)}$ e poi semplificare).

Fin qui abbiamo confrontato gli ordini di infinito di funzioni polinomiali, ed è stato un compito relativamente semplice. Ci sono altri tipi di funzioni che potremmo voler confrontare come logaritmi, esponenziali e funzioni ottenute con radici. Il confronto degli ordini di infinito definisce una "gerarchia" tra queste funzioni in cui chi ricopre le posizioni più alte è di ordine superiore rispetto a tutte le funzioni che ricoprono le posizioni più basse. Vediamo (omettendo alcune dimostrazioni) quale risulta essere la gerarchia tra le funzioni menzionate.