Introduzione
Le funzioni $g(x)=x$ e $f(x)=x^2$ tendono entrambe all'infinito per $x\to+\infty$ ma con "velocità" differenti. Questo fatto si può notare quando consideriamo il limite $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}. $$ che è una forma indeterminata di tipo $\frac{+\infty}{+\infty}$. Quando andiamo a scrivere per esteso le funzioni vediamo che il limite si semplifica: $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1}=+\infty. $$ Possiamo interpretare quello che è successo in questo modo: anche se si confrontavano due infiniti in un rapporto (forma indeterminata) uno dei due ($x^2$) prevaleva sull'altro ($x$) e determinava l'esito del rapporto. Dividere per $x$ non è stato sufficiente a "contrastare" $x^2$, perchè $x$ converge all'infinito in modo significativamente meno veloce. Se invece avessimo preso come denominatore $g(x)=x^3$ l'esito sarebbe stato diverso, il rapporto sarebbe andato a $0$, stavoltra il termine "dominante" tra $x^2$ e $x^3$ era $x^3$.
Estendiamo questo discorso definendo rigorosamente il concetto che abbiamo visto: diciamo che $f(x)$ è un infinito "di ordine superiore" rispetto a $f(x)$ per $x\to +\infty$ se il rapporto $\frac {f(x)}{g(x)}$ tende a $+\infty$.
In base a questa definizione possiamo verificare facilmente che per $x\to+\infty$ la funzione $x^3$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^2$ che a sua volta è di ordine superiore rispetto a $x$. In generale $x^k$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^h$ se $k>h$. Si può verificare facilmente anche che per $x\to+\infty$ qualsiasi polinomio $P(x)$ è un infinito di ordine superiore a qualsiasi altro polinomio $Q(x)$ di grado più basso (è sufficiente mettere in evidenza il termine di grado più alto nel numeratore e denominatore del rapporto $\frac {P(x)}{ Q(x)}$ e poi semplificare).
Fin qui abbiamo confrontato gli ordini di infinito di funzioni polinomiali, ed è stato un compito relativamente semplice. Ci sono altri tipi di funzioni che potremmo voler confrontare come logaritmi, esponenziali e funzioni ottenute con radici. Il confronto degli ordini di infinito definisce una "gerarchia" tra queste funzioni in cui chi ricopre le posizioni più alte è di ordine superiore rispetto a tutte le funzioni che ricoprono le posizioni più basse. Vediamo (omettendo alcune dimostrazioni) quale risulta essere la gerarchia tra le funzioni menzionate.
- Gli esponenziali $f(x)=A^x$ con $A>1$ hanno per $x \to +\infty$ ordine superiore rispetto a qualsiasi funzione polinomiale e rispetto alle funzioni logaritmiche $f(x)=\log_b(x)$.
- Confrontare due funzioni esponenziali è semplice: se abbiamo $f(x)=3^x$ e $g(x)=4^x$ quando calcoliamo il rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ otteniamo $\left(\frac 3 4 \right) ^x$ che è a sua volta una funzione esponenziale con base $\frac 3 4 < 1$ e dunque tende a $0$, quindi la funzione dominante tra $3^x$ e $4^x$ risulta essere $4^x$, cioè quella con la base maggiore.
- Le funzioni polinomiali si confrontano tra loro in base al grado: tra $P(x)$ e $Q(x)$ è un infinito di ordine superiore per $x \to +\infty$ quella di grado maggiore.
- Le funzioni polinomiali si confrontano con le radici mettendo in evidenza il termine di grado massimo eventualmente sotto radice, anche qui ha ordine superiore chi risulta avere questo termine di grado maggiore dell'altro. Ad esempio in $f(x)=\sqrt{x^3+x}$ il termine di grado massimo è $\sqrt{x^3}=x^{\frac 3 2}$, in $g(x)=\sqrt[3]{x^4+x^3}$ il termine di grado massimo è $\sqrt[3]{x^4}=x^{\frac 4 3}$ dunque tra le due ha ordine superiore $f(x)$ (perchè $\frac 3 2>\frac 4 3$).