Ricordiamo il significato di alcune notazioni. Dati due numeri reali $a$ e $b$ (con $a$ minore) definiamo:
Definizione: Dato un punto $x_0 \in \mathbb R$ chiamiamo intorno sferico di $x_0$ di raggio $r$ l'insieme $$ (x_0-r,x_0+r). $$ Chiamiamo intorno di $x_0$ un qualunque insieme $I$ di numeri reali che contiene al suo interno un intorno sferico di $x_0$. Chiamiamo intorno sferico bucato di $x_0$ di raggio $r$ l'insieme $$ (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r). $$ Chiamiamo intorno bucato di $x_0$ un insieme della forma $$ I-\{x_0 \} $$ ottenuto privando un intorno $I$ di $x_0$ del punto $x_0$ stesso.
Osservazione: L'intorno sferico $(x_0-r,x_0+r)$ si può anche scrivere come $$ \{x\,: \, |x-x_0| < r\} $$ mentre l'intorno sferico bucato si può scrivere come $$ \{x \, : \, 0 < |x-x_0| < r \}. $$ $\square$
Osservazione: Sulla base della definizione appena data possiamo dire che un insieme $I$ è un intorno di $x_0$ se e solo se esiste un numero $\delta$ tale che l'insieme $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ è interamente contenuto nell'insieme $I$. Analogamente possiamo dire che un insieme $I$ è un intorno bucato di $x_0$ se e solo se esiste un numero $\delta$ tale che l'insieme $(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$ è interamente contenuto nell'insieme $I$.$\square$
Facciamo alcuni esempi:
Introduciamo altre notazioni: