Esercizi sui numeri complessi

1. Scrivi nella forma $a+ib$ i numeri complessi:
   1. $[(1+i)(1-i)]^2$
   2. $(1+i)^3$
   3. $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+i}$
   4. $\displaystyle \frac{2-i}{1+2i}$
   5. $\displaystyle \left( \frac 1 2 -i \frac {\sqrt{3}}2\right)^8$
2. Calcola il modulo (lunghezza del vettore) e l'argomento (l'angolo che forma il vettore con l'asse $x$) dei numeri complessi:
   1. $-i$
   2. $1+\sqrt{3}i$
   3. $3-\sqrt{3}i$
   4. $(1+i)^6$
   5. $5(\cos(15^\circ)-i\sin(15^\circ))$
   6. $\displaystyle \left(\frac{3+4i}{4+3i}\right)^{10}$
3. Trova le soluzioni complesse delle equazioni:
   1. $x^2+4=0$
   2. $x^2-2x+10=0$
   3. $x^6-1=0$
   4. $x^4=\frac 1 2 +\frac {\sqrt{3}}2 i$
   5. $x^4+16=0$
4. Costruisci un'equazione a coefficienti reali che ha come soluzioni i numeri complessi $2+i$ e $2-i$.

Soluzioni

1a: $4$, 1b: $-2+2i$, 1c: $\frac {\sqrt{2}}3-i \frac 1 3$, 1d: $-i$, 1e: $-\frac 1 2 -i \frac {\sqrt{3}}2$

2a: $1$, $-\frac \pi 2$, 2b: $2$, $60^\circ$, 2c: $2\sqrt{3}$, $-30^\circ$, 2d: $8$, $-\frac \pi 2$, 2e: $5$, $-\frac \pi {12}$, 2f: $1$, $10\arctan(\frac{7}{24})$

3a: $\pm2i$, 3b: $1\pm 3i$, 3c: $\pm 1$, $(\pm \frac 1 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{2})$ (sei soluzioni), 3d: $\cos \alpha +i\sin \alpha$ dove $\alpha=\frac \pi {12}+k\frac \pi 2$ e $k=0,1,2,3$ (quattro soluzioni), 3e: $(\pm \sqrt{2} \pm i \sqrt{2})$ (quattro soluzioni)