Esercizi di Analisi

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Definizione di limite per successioni


  1. Data la successione $$ a_n=\frac{2n^2+3}{n^2+1} $$ con $n\geq 0$:
    1. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,2)<2$?
    2. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,2)<\frac 1 {101}$?
    3. fissato un generico $\varepsilon>0$ per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,2)<\varepsilon$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  2. Data la successione $$ a_n=\frac{3n^2-2n}{2n^2+3} $$ con $n\geq 0$:
    1. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,\frac 3 2)<1$?
    2. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,\frac 3 2)<\frac 1 {8}$?
    3. fissato un generico $\varepsilon>0$ per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,\frac 3 2)<\varepsilon$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  3. Costruisci due successioni che abbiano come limite $7$ che siano una crescente e una decrescente.

  4. Data la successione $$ a_n=\frac{n^3-2n}{n^2} $$ con $n\geq 1$:
    1. per quali $n$ si ha che $a_n>2$?
    2. per quali $n$ si ha che $a_n\geq 40$?
    3. fissato un generico $M>0$ per quali $n$ si ha che $a_n>M$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  5. Un certo deposito bancario garantisce un guadagno del 4% annuo, ovvero: se all'inizio dell'anno hai nel deposito $x$ euro alla fine dell'anno a questa somma si aggiunge il 4% di $x$ (per un ammontare totale di $x\cdot\frac {104} {100}$ euro nel deposito). Se iniziamo con un deposito di $100$ euro (senza aggiungere mai altro denaro di tasca nostra) quanti anni ci vorranno per avere nel deposito più di $200$ euro? Quanto ci vorrà per avere più di $M$ euro? Se chiamiamo $a_n$ l'ammontare del deposito all'inizio dell'anno $n$ che si può dire del limite di $a_n$?
  6. Data la successione $$ a_n=\frac{2^n}{2^n+1} $$ con $n\geq 0$:
    1. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\frac 1 {3}$?
    2. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\frac 1 {1025}$?
    3. fissato un generico $\varepsilon>0$ per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\varepsilon$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  7. Data la successione $$ a_n=\log_2(n^2+2n) $$ con $n\geq 1$:
    1. per quali $n$ si ha che $a_n\geq3$?
    2. per quali $n$ si ha che $a_n\geq 7$?
    3. fissato un generico $M>0$ per quali $n$ si ha che $a_n>M$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  8. Data la successione $$ a_n=\log_2\left(\frac{n+1}{n^2}\right) $$ con $n\geq 1$:
    1. per quali $n$ si ha che $a_n\leq -3$?
    2. per quali $n$ si ha che $a_n< -7$?
    3. fissato un generico $M>0$ per quali $n$ si ha che $a_n<-M$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

  9. Data la successione $$ a_n=\log_2\left(\frac{2n+1}{n}\right) $$ con $n\geq 1$:
    1. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\frac 1 {3}$?
    2. per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\frac 1 {100}$?
    3. fissato un generico $\varepsilon>0$ per quali $n$ si ha che $\text{dist}(a_n,1)<\varepsilon$?
    4. qual è il limite di $a_n$?

Soluzioni

1a: tutti gli $n$, 1b: $n>10$, 1c: $n>\sqrt{\frac 1 \varepsilon -1}$, 1d: $2$

2a: $n>1$, 2b: $n>9$, 2c: $n>\frac{1 + \sqrt{1+9\varepsilon-6\varepsilon^2}}{2\varepsilon}$ per $\varepsilon<\frac 1 {12}(\sqrt{105}+9)$, tutti gli $n$ per $\varepsilon\geq \frac 1 {12}(\sqrt{105}+9)$

4a: $n\geq 3$, 4b: $n\geq 41$, 4c: $n>\frac 1 2 (M+\sqrt{M^2+8})$, 4d: $+\infty$

5: $18$ anni; $n$ anni con $n>\frac{\ln M - \ln 100}{\ln {104}-\ln {100}}$

6a: $n> 1$, 6b: $n> 10$, 6c: $n>\log_2(\frac 1 \varepsilon -1)$, 7d: $1$

7a: $n>1$, 7b: $n> 10$, 7c: $n>-1+\sqrt{2^M+1}$, 7d: $+\infty$

8a: $n>8$, 8b: $n\geq 129$, 8c: $n>\frac{1+\sqrt{1+2^{2-M}}}{2^{1-M}}$, 8d: $-\infty$

9a: $n>2$, 9b: $n\geq 72$, 9c: $n>\frac{2^\varepsilon-1}{2}$, 9d: $1$

Definizione di limite per funzioni ed operazioni con i limiti


  1. Usa la definizione di limite per dimostrare che
    1. $\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{2x^2-x-1}{x-1}=3 $
    2. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x^4+1}}=0 $
    3. $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{e^{2x}-1}=-\infty $
    trovando una formula per $\delta_\varepsilon$ nel primo, per $k_\varepsilon$ nel secondo e per $\delta_M$ nel terzo.
  2. Usa i teoremi relativi alle operazioni con i limiti (più eventualmente raccoglimenti, semplificazioni e prodotti notevoli) per determinare il limite delle seguenti successioni per $n\to \infty$:
    1. $\displaystyle \frac 1 n - \frac 2 {n^2} + \frac {n^3}{n^4} $

    2. $\displaystyle n^3-n^2 $

    3. $\displaystyle \frac{n^3-2n^2+n-1}{n^2} $

    4. $\displaystyle \frac{2n^2+3n+3}{n^2-n+1} $
    5. $\displaystyle \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $

  3. Individua tre coppie di successioni $a_n$ e $b_n$ tali che $a_n\to 0$ e $b_n\to 0$ per $n\to \infty$ facendo in modo tale che si abbia $$ \lim_{n \to \infty} \frac {a_n} {b_n}=L $$ con $L=7$ per la prima coppia, $L=+\infty$ per la seconda e $L=0$ per la terza.

Soluzioni

1a: ad esempio $\delta_\varepsilon=\frac \varepsilon 2$, 1b: ad esempio $k_\varepsilon=\sqrt[4]{\frac 1 {\varepsilon^2}-1}$, 1c: $\delta_M=-\frac 1 2 \log\left( \frac 1 M +1\right)$

2a: $0$, 2b: $+\infty$, 2c: $+\infty$, 2d: $2$, 2e: $0$

Esercizi per lunedì 14 aprile


  1. Usa i teoremi relativi alle operazioni con i limiti (più eventualmente raccoglimenti, semplificazioni e prodotti notevoli) per determinare il limite delle seguenti successioni e funzioni:

    1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5-2x^4+3x^2-2x}{4x^6-5x^4+6x^2} $

    2. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{4x-3}{x} $

    3. $\displaystyle \lim_{x \to 0^-} \frac{4x-3}{x} $

    4. $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \frac{3x^5-2x^4+3x^2-2x}{4x^6-5x^4+6x^2} $

    5. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{3-4x}{2x+3} $

    6. $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{4x^6-5x^4+6x^2}{3x^5-2x^4+3x^2-2x} $

    7. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \quad n-\sqrt{n^2+1} $

  2. Data la funzione $f(x)=\frac x {x+2}$ determinare $\delta_\varepsilon$ affinché per ogni $x>1$ che verifica $\text{dist}(x,1)<\delta_\varepsilon$ si abbia $\left| f(x)-\frac 1 3 \right|<\varepsilon$ con $\varepsilon = \frac 1 {10}$, $\varepsilon = \frac 1 {1000}$ ed $\varepsilon$ generico. Che cosa puoi dire a proposito del limite $\lim_{x\to 1} f(x)$?

  3. Data la funzione definita per casi: $$ f(x) = \begin{cases} 2x+1 &\mbox{se } x \geq 2 \\ 2-x & \mbox{se } x < 2. \end{cases} $$ rappresenta il suo grafico e dimostra che $\lim_{x \to 2^+}f(x)=5$ mentre $\lim_{x \to 2^-}f(x)=0$. Che cosa si può dire su $\lim_{x \to 2} f(x)$?

Soluzioni

(Per la verifica dei limiti può essere di aiuto anche Wolfram Alpha)

1a: $0$; 1b: $-\infty$; 1c: $+\infty$; 1d: $-\infty$; 1e: $-2$; 1f: $+\infty$; 1g: $0$.

2: $\delta_{1/10}=\frac{9}{17}$, $\delta_{1/1000}=\frac{9}{1997}$, $\delta_{\varepsilon}=\frac{\varepsilon}{3\varepsilon-2}$

Altri esercizi


  1. Individua asintoti orizzontali e verticali delle seguenti iperboli traslate:

    1. $\displaystyle \frac{x-1}{2-x} $

    2. $\displaystyle \frac{4x+1}{1-x} $

  2. Usa i teoremi relativi alle operazioni con i limiti (più eventualmente raccoglimenti, semplificazioni e prodotti notevoli) per determinare il limite delle seguenti successioni e funzioni:

    1. $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} $

    2. $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2-1}{x^2-2x+1} $

    3. $\displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^4+x^3-3 x^2-5 x-2}{(x+1)^3} $

    4. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^4+n^3}-\sqrt{n^4+n}}{n} $

Soluzioni

(Per la verifica dei limiti può essere di aiuto anche Wolfram Alpha)

1a: $x=2$, $y=-1$, qui il grafico; 1b: $x=1$, $y=-4$.

2a: $+\infty$; 2b: $-\infty$; 2c: $-1$, 2d: $\frac 1 2$

Esercizi per le vacanze


Dal libro di testo: esercizi pag. 309 (quelli ancora non fatti), pag. 310 fino al n. 55, pag. 311 n. 1, 2 e 3.


  1. Usa i teoremi relativi alle operazioni con i limiti (più eventualmente raccoglimenti, semplificazioni e prodotti notevoli) per determinare il limite delle seguenti successioni e funzioni:

    1. $\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\quad \frac{-x}{1-x}$

    2. $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2-4}{x^2-3x+2} $

    3. $\displaystyle \lim_{x\to 3^+}\quad \frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+9}$

    4. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\quad \frac{\sqrt{n^5+n^3-1}}{n^2+1}$

    5. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\quad {\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}}$

Esercizi per lunedì 5 maggio


Dal libro di testo: esercizi pag. 363 da 1 a 7, pag. 368 n. 93, 100, 106, 110, 111.


  1. Usa la lista delle funzioni continue e i teoremi relativi alla continuità di somme, prodotti e composizoni per determinare l'insieme dei valori di $x$ su cui è continua ciascuna delle seguenti funzioni:

    1. $\displaystyle f(x)= \frac{3x^5-2x^4+3x^2-2}{x^3-x} $

    2. $\displaystyle f(x)= \ln (\sin x) $

    3. $\displaystyle f(x)= \sqrt{e^{-x^2}} $

    4. $\displaystyle f(x)= (16-2^x)^{-\frac 1 3} $

    5. $\displaystyle f(x)= \ln(\ln(x)) $

    6. $\displaystyle f(x)= \sin\left(\frac{1}{x}\right) $


    Soluzioni

    1. I punti di discontinuità si possono vedere attraverso il grafico della funzione. Per vedere il grafico

    • clicka sulla funzione col tasto destro
    • nel menu clicka su "Show Math As" $\rightarrow$ "TeX Commands"
    • comparirà una finestra con dentro un codice (che rappresenta la scrittura matematica della funzione), seleziona il codice (tutto) e copialo nella clipboard (premendo "Ctrl-C" oppure click destro $\rightarrow$ "Copia"),
    • vai alla pagina di wolfram alpha (clicka qui) e "Iincolla" nel riquadro bianco il codice che hai appena copiato, quindi premi invio
    • aspetta fino a quando compariranno il grafico della funzione ed il suo dominio (in inglese "domanin") in notazione insiemistica.
    • se nel grafico compaiono due curve con dicitura "real part" e "imaginary part" cambia il tipo di grafico da "complex valued plot" a "real valued plot" (c'è una casella con queste diciture a destra del grafico).