Le funzioni $g(x)=x$ e $f(x)=x^2$ tendono entrambe all'infinito per $x\to+\infty$ ma con "velocità" differenti. Questo fatto si può notare quando consideriamo il limite $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}. $$ che è una forma indeterminata di tipo $\frac{+\infty}{+\infty}$. Quando andiamo a scrivere per esteso le funzioni vediamo che il rapporto si semplifica: $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{1}=+\infty. $$ Possiamo interpretare le cose in questi termini: anche se si confrontavano due infiniti in un rapporto (forma indeterminata) uno dei due ($x^2$) prevaleva sull'altro ($x$) e determinava l'esito del rapporto "a suo favore". Dividere per $x$ non è stato sufficiente a "neutralizzare" $x^2$, perchè $x$ converge all'infinito in modo significativamente meno veloce. Se avessimo avuto come denominatore $g(x)=x^3$ l'esito sarebbe stato diverso, il rapporto sarebbe andato a $0$: in quel caso il termine "dominante" tra $x^2$ e $x^3$ era $x^3$ e potevamo accorgerci di questo dividendo numeratore e denominatore per $x^2$.
Estendiamo questo discorso definendo rigorosamente il concetto che abbiamo appena descritto a livello intuitivo:
Diremo che $f(x)$ è un infinito "di ordine superiore" rispetto a $g(x)$ per $x\to +\infty$ se il rapporto $\frac {f(x)}{g(x)}$ tende a $+\infty$. Se il rapporto tende a $0$ diremo che è di un ordine inferiore. Se il rapporto tende a un numero reale diverso da zero diremo che hanno lo stesso ordine.
In base a questa definizione possiamo verificare facilmente che per $x\to+\infty$ la funzione $x^3$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^2$ che a sua volta è di ordine superiore rispetto a $x$. In generale $x^k$ è un infinito di ordine superiore rispetto a $x^h$ se $k>h$. Si può verificare facilmente anche che per $x\to+\infty$ qualsiasi polinomio $P(x)$ è un infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi altro polinomio $Q(x)$ di grado più basso (è sufficiente mettere in evidenza il termine di grado più alto nel numeratore e denominatore del rapporto $\frac {P(x)}{ Q(x)}$ e poi semplificare).
Fin qui abbiamo confrontato gli ordini di infinito di funzioni polinomiali, ed è stato un compito relativamente semplice. Ci sono altri tipi di funzioni che potremmo voler confrontare come logaritmi, esponenziali e funzioni ottenute con radici. Il confronto degli ordini di infinito definisce una "gerarchia" tra queste funzioni in cui chi ricopre le posizioni più alte è di ordine superiore rispetto a tutte le funzioni che ricoprono le posizioni più basse. Vediamo (omettendo alcune dimostrazioni) quale risulta essere la gerarchia tra le funzioni menzionate.
Consideriamo come esempio il limite $$ \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2 3^x}{(x^3+2x)2^x} $$ che è una forma indeterminata del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Per decidere a che cosa tende isoliamo le parti polinomiali ed esponenziali: $$ \frac{x^2 3^x}{(x^3+2x)2^x}=\frac{x^2}{(x^3+2x)}\frac{3^x}{2^x}=\frac{x^2}{x^3(1+\frac 2 {x^2})}\left(\frac 3 2\right)^x $$ semplificando abbiamo quindi $$ \frac{\left(\frac 3 2\right)^x}{x(1+\frac 2 {x^2})} $$ poichè $\frac 3 2>1$ abbiamo che il numeratore tende ad infinito, ed essendo un esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto al denominatore che è il polinomio $x$ (possiamo ignorare il fattore $(1+\frac 2 {x^2})$ perchè tende ad $1$ e non da quindi contributi alla forma indeterminata). Da questo segue che il limite tende a $+\infty$.